Биссектриса треугольника: свойства, формула, как вычислять

Все формулы для треугольника

Найти длину биссектрисы в треугольнике

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC, разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Биссектриса прямоугольного треугольника

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α — угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α,β — углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

L — высота=биссектриса=медиана

a — одинаковые стороны треугольника

b — основание

α — равные углы при основании

β — угол вершины

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Найти медиану=биссектрису=высоту равностороннего треугольника

Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

L — высота=биссектриса=медиана

a —  стороны треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Найти длину медианы треугольника по формулам

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a , b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Длина медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Формула длины через катеты, (M):

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

bc — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c1 , c2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a, b, c — стороны произвольного треугольника

α, β, γ — противоположные углы

Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

*Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α>90), сosα, принимает отрицательное значение

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины равных сторон , (a):

Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a, b — катеты

c — гипотенуза

α, β — острые углы

Формулы для катета, (a):

Формулы для катета, (b):

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a,b):

Источник: http://zdesformula.ru/formulas-for-triangle12.html

Свойства биссектрисы треугольника

Слайд 1

СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ Автор: Битнер Татьяна Юрьевна Класс: 9 ОУ: МБОУ «Гимназия № 6 им. С.Ф. Вензелева »

Слайд 2

Свойство биссектрисы: В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Слайд 3

Биссектриса внешнего угла Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение его стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны соответственно прилежащим сторонам треугольника. C B A D

Слайд 4

Формулы длины биссектрисы:

Слайд 5

Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника

Слайд 6

Формула нахождения отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис

Слайд 7

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.

Слайд 8

Решение Воспользуемся формулой для нахождение отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в треугольнике:   a + c = = 18  P ∆ АВС = a + b + c = b +( a + c ) = 12 + 18 = 30. Ответ: P = 30см.

Слайд 9

Задача 2 . Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в точке О. АВ=14, ВС=6, АС=10. Найдите О D .

Слайд 10

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения длины биссектрисы: Имеем: BD = BD = = По формуле отношения отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис: l = . 2 + 1 = 3 части всего.

Слайд 11

это 1 часть  OD = Ответ: OD =

Слайд 12

Задачи В ∆ ABC проведены биссектрисы AL и BK . Найдите длину отрезка KL , если AB = 15, AK =7,5, BL = 5. В ∆ ABC проведена биссектриса AD , а через точку D прямая, параллельная AC и пересекающая AB в точке Е.

Найдите отношение площадей ∆ ABC и ∆ BDE , если AB = 5, AC = 7. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18см.

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Слайд 13

5. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника. 6. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны a и b . 7.

Вычислите длину биссектрисы угла А треугольника ABC с длинам сторон a = 18 см, b =15 см, c = 12 см. 8. В треугольнике ABC длины сторон AB , BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно.

Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Слайд 14

Ответы: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: AP = 6 AP = 10 см. KL = CP =

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/03/20/svoystva-bissektrisy-treugolnika

Как найти биссектрису треугольника?

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника.

Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.

Вычислить биссектрису можно, если знать длину стороны, которую она делит пополам, или же величины углов треугольника.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Поскольку в равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, то и биссектрисы прилегающих углов будут равными. Т.к. углы треугольника также равны.

При проведении биссектрисы из одного из углов, она будет считаться высотой данного треугольника и его медианой.

Задачи, как найти биссектрису треугольника, решаются с применением формул.

Для решения данных формул в условии должны быть обозначены значения длин сторон, или величин углов треугольника. Зная их, можно вычислить биссектрису по косинусам, либо по периметру.

Например, берем равнобедренный треугольник ABC и проводим биссектрису AE к основанию BC. Полученный треугольник AEB – прямоугольный. Биссектриса – это его высота, сторона AB – гипотенуза прямоугольного треугольника, а BE и AE – катеты.

Применяется теорема Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Исходя из нее BE = v (AB — AE). Поскольку AE – это медиана треугольника ABC, то катет BE = BC/2. Таким образом, BE = v (AB — (BC /4)).

В случае, если задан угол основания ABC, то биссектриса треугольника AEB, AE = AB/sin(ABC). Угол основания AEB, BAE = BAC/2. Поэтому биссектриса AE = AB/cos (BAC/2).

Как найти биссектрису треугольника, вписанного в другой треугольник?

В равнобедренном треугольнике ABC проведем к стороне АС сторону ВК. Этот отрезок не будет являться ни биссектрисой треугольника, ни его медианой. Здесь применятся формула Стюарта.

Читайте также:  Маскарад лермонтова в кратком содержании: пересказ отдельных действий пьесы, анализ, герои

По ней вычисляется периметр треугольника – сумма длин всех его сторон. Для ABC вычисляем полупериметр. Это периметр треугольника, деленный пополам.

Р = ( АВ+ ВС+ АС)/2. По этой формуле высчитываем биссектрису, проведенную к стороне. ВК = v(4*ВС*АС*Р (Р-АВ)/ (ВС+АС).

По теореме Стюарта можно также увидеть, что биссектриса, проведенная к другой стороне треугольника, будет равна ВК, т.к. эти две стороны треугольника равны между собой.

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для того чтобы знать, как находиться биссектриса в прямоугольном треугольнике, нужно также пользоваться формулами. Не стоит забывать, что в прямоугольном треугольнике один угол обязательно прямой, т.е. равный 90 градусам. Таким образом, если биссектриса начинается из прямого угла, даже если в условии не будет указан синус или косинус угла, можно их узнать по величине угла.

  • Находится биссектриса по формуле Стюарта. Если имеется треугольник АВК, и его полупериметр высчитывается, как Р = ( АВ+ ВК+ АК)/2. Исходя из полученного, высчитываем биссектрису АЕ = v(4*ВК*АК*Р (Р-АВ)/ (ВК+АК).
  • Длина биссектрисы определяется еще таким образом. АЕ = v (ВК*АК) – (ЕВ*ЕК), где ЕВ и ЕК – отрезки, на которые биссектриса АЕ делит сторону ВК.
  • Либо можно воспользоваться косинусами углов прямоугольного треугольника, если они известны. Биссектриса будет равна (2*аb*(cos c/2))/(a+b).
  • Либо находить биссектрису так. По формуле (cos а) – (cos b)/2, найдите необходимый в дальнейшем делитель. Далее высота, проведенная к стороне с, делится на полученное значение. Для получения косинусов нужно знать величину углов. Либо вычислить их, исходя из величины единственно известного угла – прямого, в 90 градусов.

Равносторонний треугольник

В таком треугольнике все стороны равны между собой, соответственно и углы. Поэтому все биссектрисы и медианы также будут равными. Если некоторые значения сторон будут неизвестными, то нужным будет значение одной стороны. Т.к. стороны равны. И величины углов также. Поэтому для нахождения биссектрисы по формуле косинусов, нужно знать либо вычислить значение лишь одного из углов.

Длина медианы и биссектриса треугольника равна — L.

Стороны треугольника равны — а.

L = (аv3)/2.

В треугольнике АВС, биссектриса АЕ = (АВСv3)/2.

По этой же формуле вычисляются высота и медиана равностороннего треугольника.

Разносторонний треугольник

В таком треугольнике все стороны имеют разные значения, поэтому и биссектрисы не равны между собой.

Берется треугольник с произвольными значениями сторон. Если некоторые значения сторон неизвестны, то они вычисляются по формуле периметра треугольника.

После того, как биссектрисы углов будут проведены, стоит прибавить к их обозначениям нижний индекс1. Отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, обозначаются также с нижним индексом 1.

Длины этих отрезков вычисляются по теореме синусов.

Длина же биссектрисы вычисляется как L = v аb – а1b1, где аb – прилежащие к отрезкам стороны, а а1b1 – произведение отрезков. Формула применяется ко всем сторонам разностороннего треугольника. Главное, это знать длины сторон, либо вычислить их, зная величины прилегающих к ним углов.

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/kak-najti-bissektrisu-treugolnika

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника

  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры.

Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.  / / Свойства треугольника.

В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете.Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)
(по соотношению сторон)
Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.
Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).
Рассмотрим рис. ниже.Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.Угол Θ — называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ(а+с+b) — периметр треугольника.Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
  3. Сумма углов треугольника равна 180 °  (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).
  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
    •  a < b + c,
    •  a > b – c;
    •  b < a + c,
    •  b > a – c;
    •  c < a + b,
    •  c > a – b.
Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам). 2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними). 3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:1. Гипотенуза и острый угол. 2. Катет и противолежащий угол. 3. Катет и прилежащий угол. 4. Два катета.5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.(р/а)=(q/b)=(r/c).

Признаки подобия треугольников:

  1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC2=AB2+AC2 см. рис. выше.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

  1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на  рис. выше  AE:CE = AB:BC
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

  1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
  2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
  3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы площади треугольника

1.Произвольный треугольник — формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

  1. S=(1/2)*(a* ha) — по стороне и высоте.
  2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
  3. — по длинам сторон — формула площади Герона
  4. S=p*r — через периметр и радиус вписанной окружности
  5. S=(a*b*c) / (4R) — через длины сторон и радиус описанной оружности
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.1. S=(1/2)*a*b2. S=(1/2)*c*hc
S=(a2*√3)/4
— Синус α — это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)- Косинус α — это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)- Тангенс α — это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)- Котангенс α — это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Источник: https://tehtab.ru/guide/guidemathematics/perimsqvolgradrad/squaresofplainfigures/trianglesproporties/

Что такое биссектриса треугольника в геометрии: как найти по формуле и каковы ее свойства

Треугольник в геометрии — основная фигура, которую нельзя разделить на составляющие. Отрезок прямой линии, соединяющий вершину с противоположной стороной, при условии разделения угла пополам, — это биссектриса треугольника. Так как данная фигура содержит 3 угла, соответственно, из каждого можно провести линию, делящую его на равные компоненты.

Свойства биссектрисы

Равносторонняя треугольная фигура характеризуется не только равенством сторон, но внутренние углы также одинаковы, при этом они составляют 60° каждый.

Поэтому проведенная биссектриса одновременно является высотой, медианой. Она обладает не только своими качествами, но и характеристиками высоты, медианы треугольника:

  • делит противоположные стороны на равные части;
  • перпендикулярна к противолежащей стороне;
  • в точке пересечения 3 линий каждый отрезок делится в соотношении 2:1, считая от вершины (свойство медианы);
  • из центра пересечения можно одновременно провести окружность внутри и вокруг фигуры;
  • линии, делящие на равные части внешние углы правильного треугольника, параллельны противоположно расположенным сторонам фигуры;
  • все 3 отрезка, проведенные из вершин, равны по длине.

Наиболее простая формула, определяющая, как найти биссектрису треугольника, выражается через радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности:

Характеристика внутренних линий

Основное свойство биссектрисы треугольника с равными боковинами: отрезок, опущенный из вершины, одновременно является медианой, высотой.

При этом, кроме разделения угла на 2 равные части, линия характеризуется следующими качествами:

  • делит нижнее основание пополам;
  • служит перпендикуляром к противолежащей стороне;
  • отрезок луча, разделяющий внешний угол вершины с равными боковинами, параллелен основанию.

При этом верно обратное утверждение: когда 2 биссектрисы равны между собой, то треугольник считается равнобедренным.

Если вершина содержит 90° (прямой угол), то отрезки, опущенные на катеты, пересекаются под 45°. В этом случае определить размер искомого отрезка помогает теорема Пифагора.

Пример

В треугольнике АВС вершина А содержит 90°. Отрезок АД служит высотой, биссектрисой и медианой одновременно. Образованы 2 прямоугольные трехсторонние фигуры: АВД и АСД, у которых равны основания (ВД=СД). Требуется найти длину отрезка АД.

По теореме Пифагора АД2 = АВ2-ВД2. Отсюда АД = √АВ2-ВД2.

Соотношение со сторонами треугольника

Слово, в переводе с латинского языка, обозначает «сечение поперек».

Чем отличается биссектриса от других главных и второстепенных отрезков треугольной фигуры, было известно еще Архимеду, который в своих трудах активно использовал ее свойства для определения сторон многоугольников. При этом количество сторон должно быть кратным трем.

Классическая теорема о биссектрисе гласит, что линия разделяет противоположную сторону на 2 отрезка, отношение которых друг к другу такое же, как соотношение двух соприкасающихся к основанию сторон.

Пример

Дан треугольник АВС. Из вершины А проведена биссектриса АД, разделяющая сторону ВС на 2 отрезка (ДВ и ДС). Смысл теоремы сводится к равенству нескольких величин: ВД/АВ=СД/АС и ВД/ДС=АВ/АС. Лучше понять формулу помогает фото треугольника с проведенной линией.

Характеристика линий:

  • любая биссектриса, выпущенная из вершины неправильного треугольника, расположена между медианой и высотой, выходящей из этого же места;
  • все точки, расположенные на отрезке, удалены от сторон по бокам вершины на одинаковое расстояние;
  • лучи, разделяющие пополам внешний и внутренний угол треугольной фигуры, перпендикулярны между собой;
  • все отрезки, делящие на равные части внутренние углы, пересекаются в строго определенной точке, которая служит центром вписанной в эту фигуру окружности;
  • если две биссектрисы равны по длине, то фигура – равнобедренная, если все одинакового размера, треугольник – правильный.

Способы построения

Зная, что такое биссектриса, легко определить расположение отрезка в треугольной фигуре. Для построения применяется несколько способов:

  1. Известен угол, из которого исходит прямая, делящая его на равные сегменты. Значение делится пополам. На рисунке с помощью транспортира строится нужный отрезок.
  2. Если параметры угла неизвестны, его измеряют транспортиром, делят пополам, затем проводят искомую линию.
  3. Оригинальный способ построить нужный отрезок с помощью карандаша, линейки и циркуля. Из любой вершины проводится окружность произвольного радиуса. Главное, что величина должна быть меньше, чем прилегающая сторона. Место пересечения с каждой стороной считается центром для еще двух окружностей с таким же шагом циркуля. Нарисовать еще два круга, которые пересекаются между собой два раза. Через полученные точки и вершину под линейку проводится прямая, которая и есть настоящая биссектриса внутреннего угла.
  4. Построить треугольник по известной длине трех отрезков (АВ, ВС, АС) можно с помощью линейки и циркуля. На произвольной прямой линии обозначить сегмент, равный АВ. Из точки А провести окружность с шагом циркуля равным АС, а затем аналогично из точки В провести окружность с шагом ВС. Точка пересечения – вершина искомой треугольной фигуры (С), в которой легко определяются биссектрисы, учитывая их характеристики.

Источник: https://znaniya.guru/matematika/bissektrisa-treugolnika.html

Формула биссектриса равностороннего треугольника | Помощь школьнику

вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-4x+5, y=0, x=0, x=4, и y=0.

Биссектриса равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает биссектриса равностороннего треугольника? Как, зная сторону правильного треугольника, найти его биссектрису? Чему равна длина биссектрисы через радиус вписанной и описанной окружностей?

(свойство биссектрисы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к любой стороне, является также его медианой и высотой.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Проведем биссектрису BF.

По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и высотой.

Аналогично, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, а его биссектрисы AK и CD — еще и медианы и высоты.

Что и требовалось доказать.

(свойство биссектрис равностороннего треугольника)

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

AK, BF CD — биссектрисы треугольника ABC.

В треугольниках ABF, BCD и CAK:

    AB=BC=CA (по условию) ∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника) ∠ABF=∠BCD=∠CAK (как как AK, BF CD — биссектрисы равных углов).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать.

Из теорем 1 и 2 следует, что В равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты равны между собой.

1) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через его сторону.

По свойствам равностороннего треугольника, BF — высота ∆ ABC, ∠A=60º.

Из прямоугольного треугольника ABF по определению синуса

Таким образом, формула биссектрисы равностороннего треугольника по его стороне:

2) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы равностороннего треугольника также являются его медианами. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Следовательно, точка O — центр вписанной и описанной окружностей, OF — радиус вписанной окружности, OF=r, BO — радиус описанной окружности, BO=R и BO:OF=2:1.

Таким образом, длина биссектрисы через радиус вписанной окружности равна

Формула биссектриса равностороннего треугольника

Биссектриса равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает биссектриса равностороннего треугольника? Как, зная сторону правильного треугольника, найти его биссектрису? Чему равна длина биссектрисы через радиус вписанной и описанной окружностей?

(свойство биссектрисы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к любой стороне, является также его медианой и высотой.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Проведем биссектрису BF.

По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и высотой.

Аналогично, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, а его биссектрисы AK и CD — еще и медианы и высоты.

Что и требовалось доказать.

(свойство биссектрис равностороннего треугольника)

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

AK, BF CD — биссектрисы треугольника ABC.

В треугольниках ABF, BCD и CAK:

    AB=BC=CA (по условию) ∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника) ∠ABF=∠BCD=∠CAK (как как AK, BF CD — биссектрисы равных углов).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать.

Из теорем 1 и 2 следует, что В равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты равны между собой.

1) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через его сторону.

По свойствам равностороннего треугольника, BF — высота ∆ ABC, ∠A=60º.

Из прямоугольного треугольника ABF по определению синуса

Таким образом, формула биссектрисы равностороннего треугольника по его стороне:

2) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы равностороннего треугольника также являются его медианами. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Следовательно, точка O — центр вписанной и описанной окружностей, OF — радиус вписанной окружности, OF=r, BO — радиус описанной окружности, BO=R и BO:OF=2:1.

Таким образом, длина биссектрисы через радиус вписанной окружности равна

Формула биссектриса равностороннего треугольника

Формула биссектриса равностороннего треугольника

Все формулы для треугольника, как найти сторону, биссектрису, медиану, высоту, угол

Найти длину биссектрисы в треугольнике

С — сторона на которую опущена биссектриса

D , E — отрезки полученные делением биссектрисы

Γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Биссектриса прямоугольного треугольника

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

L — биссектриса, отрезок ME, исходящий из прямого угла (90 град)

Α — угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L ):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L ):

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

L — биссектриса, отрезок ME, исходящий из острого угла

Α, Β — углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, ( L ):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, ( L ):

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

A — одинаковые стороны треугольника

Α — равные углы при основании

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, ( L ):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, ( L ):

Найти медиану=биссектрису=высоту равностороннего треугольника

Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

A — стороны треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, ( L ):

Найти длину медианы треугольника по формулам

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону C пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

C — сторона на которую ложится медиана

A, B — стороны треугольника

Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

Длина медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO| , исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу C , пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике ( M ), равна, радиусу описанной окружности ( R ).

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, ( M ):

Формула длины через катеты, ( M ):

Формула длины через катет и острый угол, ( M ):

Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — Ортоцентр.

A — сторона, основание

R — радиус описанной окружности

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):

Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы, ( H ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( A ):

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( Α >90) , Сos α , принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( A ):

Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), ( B ):

Формулы длины равных сторон, ( A ):

Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

© 2016 Все права защищены.

При использовании материалов сайта ссылка на источник обязательна.

Источник: http://poiskvstavropole.ru/2018/01/15/formula-bissektrisa-ravnostoronnego-treugolnika/

Свойства биссектрисы треугольника. — презентация

1 СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ Автор: Битнер Татьяна Юрьевна Класс: 9 ОУ: МБОУ «Гимназия 6 им. С.Ф. Вензелева»<\p>

2 Свойство биссектрисы: В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.<\p>

3 Биссектриса внешнего угла Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение его стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны соответственно прилежащим сторонам треугольника. C B A D<\p>

4 Формулы длины биссектрисы:<\p>

5 Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника<\p>

6 Формула нахождения отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис<\p>

7 Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.<\p>

8 Решение Воспользуемся формулой для нахождение отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в треугольнике: a + c = = 18 PАВС = a + b + c = b +(a + c) = = 30. Ответ: P = 30 см.<\p>

9 Задача 2. Биссектрисы BD и CE ABC пересекаются в точке О. АВ=14, ВС=6, АС=10. Найдите ОD.<\p>

10 Решение. Воспользуемся формулой для нахождения длины биссектрисы: Имеем: BD = BD = = По формуле отношения отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис: l=l= = 3 части всего.<\p>

11 это 1 часть OD = Ответ:OD =<\p>

12 Задачи 1. В ABC проведены биссектрисы AL и BK. Найдите длину отрезка KL, если AB = 15, AK=7,5, BL = В ABC проведена биссектриса AD, а через точку D прямая, параллельная AC и пересекающая AB в точке Е. Найдите отношение площадей ABC и BDE, если AB = 5, AC = Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18 см. 4. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.<\p>

13 5. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника. 6. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны a и b. 7. Вычислите длину биссектрисы угла А треугольника ABC с длинам сторон a = 18 см, b =15 см, c = 12 см. 8. В треугольнике ABC длины сторон AB, BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.<\p>

14 Ответы: 1.Ответ: 2. Ответ: 3.Ответ: 4. Ответ: 5. Ответ: 6.Ответ: 7. Ответ: 8.Ответ: AP = 6 AP = 10 см. KL = CP=<\p>

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1002376/

Ссылка на основную публикацию